Usted tiene dos opciones:
- linealizar el sistema, y en forma de una línea en el registro de los datos.
- Usar un solucionador no lineal (por ejemplo
scipy.optimize.curve_fit
La primera opción es, con mucho, el más rápido y más robusto. Sin embargo, se requiere que se conozca la ordenada en el desplazamiento a priori, de lo contrario es imposible linealizar la ecuación. (es decir y = A * exp(K * t) puede ser linealizado mediante el ajuste de y = log(A * exp(K * t)) = K * t + log(A), pero y = A*exp(K*t) + C sólo puede ser linealizado mediante el ajuste de y - C = K*t + log(A), y como y es la variable independiente, C debe ser conocida de antemano para que esto sea un sistema lineal.
Si usa un método no lineal, es a) no guara nteed para converger y producir una solución, b) será mucho más lento, c) da una estimación mucho más pobre de la incertidumbre en sus parámetros, yd) a menudo es mucho menos precisa. Sin embargo, un método no lineal tiene una gran ventaja sobre una inversión lineal: puede resolver un sistema no lineal de ecuaciones. En su caso, esto significa que no tiene que saber C de antemano.
Sólo para dar un ejemplo, vamos a resolver para y = A * exp (K * t) con algunos datos ruidosos utilizando tanto lineal y métodos no lineales:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import scipy as sp
import scipy.optimize
def main():
# Actual parameters
A0, K0, C0 = 2.5, -4.0, 2.0
# Generate some data based on these
tmin, tmax = 0, 0.5
num = 20
t = np.linspace(tmin, tmax, num)
y = model_func(t, A0, K0, C0)
# Add noise
noisy_y = y + 0.5 * (np.random.random(num) - 0.5)
fig = plt.figure()
ax1 = fig.add_subplot(2,1,1)
ax2 = fig.add_subplot(2,1,2)
# Non-linear Fit
A, K, C = fit_exp_nonlinear(t, noisy_y)
fit_y = model_func(t, A, K, C)
plot(ax1, t, y, noisy_y, fit_y, (A0, K0, C0), (A, K, C0))
ax1.set_title('Non-linear Fit')
# Linear Fit (Note that we have to provide the y-offset ("C") value!!
A, K = fit_exp_linear(t, y, C0)
fit_y = model_func(t, A, K, C0)
plot(ax2, t, y, noisy_y, fit_y, (A0, K0, C0), (A, K, 0))
ax2.set_title('Linear Fit')
plt.show()
def model_func(t, A, K, C):
return A * np.exp(K * t) + C
def fit_exp_linear(t, y, C=0):
y = y - C
y = np.log(y)
K, A_log = np.polyfit(t, y, 1)
A = np.exp(A_log)
return A, K
def fit_exp_nonlinear(t, y):
opt_parms, parm_cov = sp.optimize.curve_fit(model_func, t, y, maxfev=1000)
A, K, C = opt_parms
return A, K, C
def plot(ax, t, y, noisy_y, fit_y, orig_parms, fit_parms):
A0, K0, C0 = orig_parms
A, K, C = fit_parms
ax.plot(t, y, 'k--',
label='Actual Function:\n $y = %0.2f e^{%0.2f t} + %0.2f$' % (A0, K0, C0))
ax.plot(t, fit_y, 'b-',
label='Fitted Function:\n $y = %0.2f e^{%0.2f t} + %0.2f$' % (A, K, C))
ax.plot(t, noisy_y, 'ro')
ax.legend(bbox_to_anchor=(1.05, 1.1), fancybox=True, shadow=True)
if __name__ == '__main__':
main()
Nota que el lineal la solución proporciona un resultado mucho más cercano a los valores reales. Sin embargo, tenemos que proporcionar el valor de desplazamiento y para usar una solución lineal. La solución no lineal no requiere este conocimiento a priori.
falla estrepitosamente debido a que el valor supuesto por omisión para p0 es [1,1,1]. El problema es que la segunda variable debe ser negativa. Si cambias tu función exp_decay para reflejar esto (usa np.exp (-x * t)) o usas p0 = [1, -1,1], supongo que funcionará. Estos métodos pueden tener problemas con los cambios de signo en las variables. –